【三個門機率】蒙提霍爾問題：三個門後的機率密碼，換？還是不換？

蒙提霍爾問題

這個博弈論中的問題，有三扇門，一輛汽車藏在其中一扇門後，其餘兩扇門後藏著山羊，參賽者選擇一扇門，主持人會開啟另一扇藏有山羊的門，並詢問參賽者是否要換另一扇門，這個問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺，因此又稱為蒙提霍爾悖論。

蒙德拉諾一開始就選對了有汽車的那扇門，因此他選擇不換門的話就能拿到汽車，但如果是蒙德拉諾先選擇了沒有汽車的門，他選擇換門就能拿到汽車。

透過這些不同的情境，我們可以得到以下結論：如果主持人事先知道車在哪扇門後面，維持不換門可以拿到汽車的機率為1/3，而換門可以拿到汽車的機率為2/3，換句話説，只要一開始選到沒獎品的門，換門就一定會中獎，反之，一開始選到有獎品的門，那麼換門就沒有機會拿到獎品，因此，換門才是較好的選擇。

儘管這個問題的答案在邏輯上並不矛盾，但卻十分違反直覺，因此被稱為蒙提霍爾悖論。

參賽者初始選擇	主持人打開的門	主持人問是否換門	參賽者換門	參賽者中獎
汽車門	山羊門	是	否	輸
汽車門	山羊門	是	是	輸
山羊門	汽車門	是	是	贏
山羊門	汽車門	是	否	輸

因此，只要一開始選到沒獎品的門，換門就一定會中獎，反之，一開始選到有獎品的門，那麼換門就銘謝惠顧了。

其實，這就是著名的汽車-山羊問題（Car-Goat Problem），又稱為蒙提霍爾問題（Monty Hall problem）或三門問題，雖然這個問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但卻十分違反直覺，因此又稱為蒙提霍爾悖論。

這個問題顯示出，即使是在看似簡單的情境中，我們直覺並不總是可靠的。

在這個問題中，主持人事先知道哪扇門後有汽車，我們可以透過下圖瞭解，兩個山羊和一輛汽車的排列方式共有三種，即情節1、2、3等三種情況，故每種情境發生的機率為1/3。

當情節1發生時，知道內情的主持人隨意從2、3號門擇一打開，所以情節1分為1a、1b情況。不論其打開哪一個門，門後皆是山羊，此時若來賓要求換門，則得到的是山羊，因此情節1發生的機率為1/3。

但是當情節2、3發生時，知道內情的主持人會選擇打開沒有汽車的那一個門，後面一定是一隻山羊，此時若來賓要求換門，便得到汽車，因此情節2、3發生的機率為2/3。

當參賽者選擇一扇門，主持人開啟一扇山羊門後，參賽者若選擇換門，則獲取汽車的機率提升至2/3。

因此，如果主持人在事前得知汽車所在位置，那麼選擇堅持原有選擇的獲勝機率僅為1/3，而選擇更換另一扇的獲勝機率提升至2/3。

換句話説，只要最初選擇到藏有山羊的門，那麼更換選擇必定會獲得汽車；反之，如果一開始便選到藏有汽車的門，則更換選擇將導致失去汽車。

因此，更換選擇才是較佳的策略。

這個問題在機率論中被稱為汽車-山羊問題（Car-Goat Problem），也稱為蒙提霍爾問題（Monty Hall problem）或三門問題，儘管其答案在邏輯上並不矛盾，但卻十分違反直覺，因此又稱為蒙提霍爾悖論。

簡介

「三個門機率」問題是一個機率理論上的經典問題，描述了一種遊戲情況，其中玩家被要求從三個關閉的門中選出一扇，而門後可能會藏著獎品或懲罰。這個問題突出了機率和直覺之間的差異，並揭示了條件機率的重要性。

遊戲介紹

主持人會準備三個關閉的門，其中一扇後藏著獎品（例如汽車），另外兩扇後藏著懲罰（例如山羊）。玩家首先隨機選擇一扇門，然後主持人會打開他選中的門背後沒有獎品的另一扇門。接著，主持人會問玩家是否要繼續堅持他原本的選擇，或改選另一扇未開啟的門。

直覺悖論

許多人會直覺地認為，無論選擇哪扇門，獎品被選中的機率都是 1/3。然而，經由機率計算後，可以發現實際上改選另一扇門的機率更高。

機率計算

以下為「三個門機率」問題的機率計算：

由表格可知，如果玩家選擇了獎品門，那麼中獎機率為 0。如果玩家選擇了懲罰門，那麼改選另一扇門的中獎機率為 1/2。

解釋

造成這個悖論的原因是條件機率。一旦主持人打開沒有獎品的門，就會提供有關選擇正確還是錯誤的有力資訊。如果玩家最初選擇了獎品門，那麼主持人無法打開沒有獎品的門；因此，改選另一扇門不會增加中獎機率。相反地，如果玩家最初選擇了懲罰門，那麼主持人必須打開另一扇懲罰門；因此，改選另一扇門將確保玩家獲得獎品。

延伸閲讀…

換？還是不換？

三門問題_百度百科

結論

「三個門機率」問題表明，直覺和機率計算有時會出現偏差。在做決策時，考量條件機率至關重要，因為它可以提供更準確的機率評估，並幫助我們做出更明智的選擇。