三角學：數學中的三角關係
三角學研究三角形中邊角間的關係，由一系列描述邊角關係的三角函數組成，這些函數具有週期性，可用於刻畫週期現象。三角學在公元前三世紀開始發展，作為幾何學分支，廣泛應用於天體測量。現代三角學涵蓋平面三角學和球面三角學。
平面三角學研究平面三角形邊角關係，包括角的測量、直角三角形中的三角函數及其反函數、公式推導和應用，常作為單獨課程或微積分預備課程教授。三角函數在純數學和應用數學領域廣泛運用，如傅立葉分析等。
球面三角學研究球面上由大圓弧圍成的三角形，是曲面幾何學的一部分，應用於天文學和航海，在測量學、地圖學等領域也有涉獵。雙曲幾何探討負曲率曲面上的三角學。
三角學的早期發展源自蘇美爾人的角度測量法，將圓弧劃分為360度。古希臘人將三角學發展為系統化學科，穆斯林天文學家引入正弦、餘弦等術語和正切、餘切概念。明清時期，三角學作為天文學改革的一部分，從西方傳入中國，介紹了對數法和三角算法。
三角函數的定義只適用於角度範圍在0°到90°（0到π/2弧度），通過單位圓可將其拓展到正負任意角度。三角函數表現出週期性，周長為360°（2π弧度），正切和餘切函數的週期較短，為180°（π弧度）。此外，三角函數可用微積分和級數建立，適用範圍擴展至複數。
恆等式是適用於所有角度的三角函數等式組，一些恆等式可將同一角的不同函數表示相互轉換。三角函數的計算早已有數表記載，現已融入數學課本和科學計算器中，計算尺在三角函數計算上也有特殊應用。
附表：三角函數及其反函數
| 三角函數 | 反三角函數 |
| — | — |
| 正弦 | 正弦反函數 |
| 餘弦 | 餘弦反函數 |
| 正切 | 正切反函數 |
| 餘切 | 餘切反函數 |
| 正割 | 正割反函數 |
| 餘割 | 餘割反函數 |
三角形：數學與藝術的基石
在幾何學中，三角形是一個由三條邊和三個角構成的封閉平面圖形。它是數學和藝術中的一個基本元素，具有獨特的性質和多用途。
三角形的基本性質
- 邊數：3
- 角數：3
- 內角和：180 度
- 外角和：360 度
- 面積公式：底 x 高 ÷ 2
三角形種類
根據邊長和角的類型，三角形可以分為以下幾種類型：
| 種類 | 邊長 | 角的類型 | 內角和 |
|---|---|---|---|
| 等邊三角形 | 相等 | 等角 | 180 度 |
| 等腰三角形 | 兩邊相等 | 一個角大於其他兩個角 | 180 度 |
| 直角三角形 | 一個角為 90 度 | 兩個角為鋭角 | 180 度 |
三角形在數學中的應用
三角形是 trigonometry（三角學）的基礎，trigonometry 是研究三角形邊長與角之間關係的數學分支。三角學在建築、導航和工程等許多領域都有應用。
三角形在藝術中的應用
三角形是藝術中常見的元素，可用於創造視覺趣味、動態和平衡。它出現在建築、繪畫、雕塑和設計等各種藝術形式中。
建築中的三角形
- 金字塔：古代埃及的標誌性建築，其形狀為四個三角形組成的金字塔形。
- 歌劇院屋頂：許多歌劇院屋頂採用三角形形狀，創造出宏偉的視覺效果。
- 橋樑結構：一些橋樑使用三角形桁架，提供強度和穩定性。
繪畫中的三角形
- 構圖：三角形可以用來創造視覺焦點和引導觀眾的眼睛。
- 人物描繪：藝術家使用三角形來描繪人物和動物的形狀和動作。
- 光影效果：三角形可以用來營造光影，強調深度和質感。
雕塑中的三角形
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三角函數公式
三角函數公式整理｜cos、sin、tan、幾何運算｜學呀基礎數學
- 金屬雕塑：三角形用於創建現代金屬雕塑的抽象形狀。
- 石雕：三角形用於強調雕塑的幾何感和質感。
- 木雕：三角形用於裝飾木雕，創造視覺上的趣味。
設計中的三角形
- 標誌設計：三角形可以用來創建品牌標誌，表示穩定性、力量和動態。
- 工業設計：三角形形狀可用於設計產品，例如傢俱、燈具和汽車零件，以提高功能性和美感。
- 珠寶設計：三角形切割用於切割寶石，創造閃亮和獨特的外觀。