多邊形與其內外角和
[多邊形之 تعريف與元素]
多邊形由三條或更多條位於同一平面的線段首尾相接而成，其組成元素包括：
- 邊：組成多邊形的線段
- 內角：由相鄰兩條邊形成的角
- 外角：由邊延長線與相鄰另一邊形成的角
- 頂點：內角的交點
- 對角線：連接不同頂點的線段（僅限於邊數大於四的多邊形）
[四邊形的內角和]
若四邊形 ABCD 中 AD 與 BE 平行，則根據同位角相等和同旁內角互補，可得：
∠A + ∠ABE = 180°
∠D + ∠BEC = 180°
由三角形 CBE 知：
∠CBE + ∠C + ∠BEC = 180°
綜合以上式子，可推導出：
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
即四邊形的內角和等於 360°。
[多邊形的內外角和]
經大量實驗發現，對於邊數 n ≥ 3 的多邊形，其對角線條數與邊數、內角和與對角線條數的關係式如下：
- 對角線條數 = 邊數 – 3
- 內角和 = 對角線條數 × 180° + 180°
因此，n 邊形的內角和為 (n-2) × 180°。
若將多邊形每個頂點的一條邊延長線作圖，則圖形所有角度之和等於邊所在直線的平角（外角 + 內角）之和，即 180°n。因此，多邊形的外角和為 360°。
[平行四邊形的對稱性質]
如果一個四邊形具有以下性質，則稱為平行四邊形：
- 兩組對邊分別平行且相等
- 對角線互相平分
此類形狀具有中心對稱性，旋轉 180° 後可與自身重合，對稱中心為兩條對角線的交點。
平行四邊形內角和
平行四邊形是一種有兩對平行的邊的四邊形。平行四邊形的內角和為 360 度，這一點對於各種幾何問題的求解非常重要。
平行四邊形內角和定理
平行四邊形的對角相等，且對角互補，即兩對對角的和分別為 180 度。換言之，平行四邊形任意兩個相鄰角的和為 180 度。
證明
設 ABCD 是平行四邊形，∠A = x，∠B = y，∠C = z，∠D = w。
- 證明∠A + ∠C = 180 度：
在平行四邊形 ABCD 中，畫對角線 AC。
由對角互補定理，有：
∠BAC = 180 度 - ∠ACB
又因為 AB∥DC，∠BAC 和 ∠ACD 是同位角，有：
∠ACD = ∠BAC = 180 度 - ∠ACB
所以：
∠ACD + ∠ACB = 180 度
即 ∠A + ∠C = 180 度。
- 證明∠B + ∠D = 180 度：
類似的證明方法可以證明 ∠B + ∠D = 180 度。
因此，平行四邊形的任兩相鄰角的和為 180 度，即平行四邊形的內角和為 360 度。
應用
延伸閲讀…
平行與四邊形
【概念4】四邊形的內角和 – YouTube
平行四邊形內角和定理在許多幾何問題的求解中都有應用，例如：
- 求平行四邊形的對角線長度
- 求平行四邊形的外角
- 求平行四邊形中某個角的度數
表格總結
| 度數 | 角 | 關係 |
|---|---|---|
| 180 | 對角 | 互補 |
| 180 | 任意兩個相鄰角 | 互補 |
| 360 | 內角和 | 等於 360 度 |