10. 多項式的除法
前言：
數學中的除法運算不僅適用於整數，也同樣適用於多項式。就如同整數的除法一樣，多項式的除法也能得到兩個結果：商式和餘式，其中餘式是繞不過的重要概念。
多項式除法的原理：
給定兩個多項式，$f(x)$ 和 $g(x)$，其中 $g(x)$ 非零，那麼可以唯一分解出多項式 $q(x)$ 和 $r(x)$，滿足以下方程式：
$$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$$
商式 $q(x)$ 表達了 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的結果，而餘式 $r(x)$ 則反映了除法過程中無法被 $g(x)$ 整除的部分。
餘式定理：
多項式除法中，關鍵的定理是餘式定理：當一個多項式 $a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ 除以二元一次多項式 $x – c$ 時，其餘式等於將 $x$ 代入為 $c$ 時所得的函數值。
除法演算法：
具體實踐多項式除法，可以透過稱為「長除法」的演算法進行。類似於整數的長除法，將 $f(x)$ 和 $g(x)$ 根據降冪排列，並用零填充缺項。
根的求解：
多項式除法的最大用處之一是求解多項式的根。如果一個多項式的根已知，如通過有理數根定理求得，可以利用多項式長除法將其分解為根的乘積。
其他應用：
除法演算法在多項式運算中扮演重要的角色，涉及到因式分解、合成函數、求導數和積分等多種應用。
| ** | 多項式除法的關鍵概念 | 説明 | ** |
|---|---|---|---|
| 商式 | f(x) 除以 g(x) 的結果 | ||
| 餘式 | 分數過程中無法被 g(x) 整除的部分 | ||
| 長除法 | 求解商式和餘式的演算法 | ||
| 餘式定理 | 多項式除以 x – c 的餘式等於 f(c) | ||
| 因式分解 | 利用多項式除法求解多項式的根 |
除式公式：深入淺出的解析
除式公式是一種常見的數學運算，用於計算整數除法的商和餘數。它在各種應用中扮演著至關重要的角色，包括計算機演算法、科學測量和日常生活中。
除式公式
除式公式為：
a = bq + r
其中：
a是被除數b是除數q是商r是餘數
公式應用
除式公式可用於以下計算：
- 求商：
q = (a - r) / b - 求餘數：
r = a - bq
運算步驟
要使用除式公式，請執行以下步驟：
- 將被除數
a除以除數b，直到商q為整數部分。 - 將商
q乘以除數b，得到乘積bq。 - 從被除數
a中減去乘積bq，得到餘數r。
範例
假設我們要計算 27 除以 4：
27 = 4q + r
我們先除 27 以 4，得到商為 6，餘數為 3。因此：
q = 6
r = 3
故 27 除以 4 的商為 6，餘數為 3。
表格：除式公式範例
| 被除數 | 除數 | 商 | 餘數 |
|---|---|---|---|
| 27 | 4 | 6 | 3 |
| 122 | 12 | 10 | 2 |
| 345 | 5 | 69 | 0 |
應用情境
除式公式在以下情境中廣泛應用：
- 電腦演算法：檢查資料結構的元素數量是否可以整除為某個固定整數。
- 科學測量：計算時間、距離或其他測量單位之間的換算。
- 日常生活中：分配物品、計算金額或計算時長。
結論
延伸閲讀…
1-4、多項式的除法運算觀念篇
除法原理、餘式定理與因式定理 – 科學Online
除式公式是一種重要的數學概念，可用於進行整數除法運算。它在各種應用中都扮演著關鍵角色，透過理解除式公式的運作原理和應用，我們可以更有效地解決許多實際問題。