特殊直角三角形的特性
[在平面幾何中，存在著一些特殊直角三角形，具有獨特的特質，這使得它們的計算和應用更加方便。這些三角形的特殊性質主要表現在內角關係和邊長比例上。例如，45-45-90 三角形因其內角關係特殊而聞名。]
角關係
- 45-45-90 三角形各內角之間的比例為 1:1:2。
- 30-60-90 三角形具有等差數列的內角。
- 角度呈等比數列的直角三角形僅有一種，其內角比例為 1:φ:φ²，其中 φ 為黃金比例。
邊長比例
除了內角關係之外，一些特殊直角三角形還具有特定邊長比例。
| 三角形類型 | 內角關係 | 邊長比例 |
|---|---|---|
| 45-45-90 三角形 | 1:1:2 | 1:1:√2 |
| 30-60-90 三角形 | 1:√3:2 | 1:√3:2 |
| 角度呈等比數列的直角三角形 | 1:φ:φ² | sin(π/(2φ²)):sin(π/(2φ)):1 |
這些特殊三角形的特性在解題和實際應用中具有重要意義。例如，45-45-90 三角形可以通過幾何方式推導出邊長比例為 1:1:√2，從而簡化其邊長和麪積的計算。30-60-90 三角形則可以用於解決角度問題，因為其內角之間的等差數列關係可以方便地應用於角平分線公式。
3 4 5 三角形：角度之謎
3 4 5 三角形，又稱畢氏三角形，是一種直角三角形，其三邊長度成 3：4：5 的比例。這種三角形在歐幾何中扮演著重要的角色，其角度關係也備受關注。
3 4 5 三角形的角度
根據畢氏定理，3 4 5 三角形的直角邊長分別為 3 和 4，斜邊長為 5。根據三角形內角和定理，3 4 5 三角形內角和為 180 度。
因此，3 4 5 三角形的未知角（θ）可以通過以下公式計算出來：
θ = 180° - 90° - ∠B
其中，∠B 是與邊 4 相鄰的已知角，為 37°（可通過反正切函數求得）。
代入數字得到：
θ = 180° - 90° - 37° = 53°
因此，3 4 5 三角形的未知角為 53°。
角的正切值與角度
需要注意的是，3 4 5 三角形中直角邊的正切值與角度之間存在以下關係：
tan(∠A) = 4 / 3
tan(∠B) = 3 / 4
tan(∠C) = 5 / 12
表格：3 4 5 三角形角度與正切值
| 角 | 度數 | 正切值 |
|---|---|---|
| ∠A | 37° | 4 / 3 |
| ∠B | 53° | 3 / 4 |
| ∠C | 90° | ∞ |
其他特徵
除了上述角度關係外，3 4 5 三角形還有一些其他特徵：
- 其斜邊是直角邊長度的根號 2 倍。
- 其內切圓半徑和外接圓半徑之比為 4：5。
- 其內部存在一個相似的小 3 4 5 三角形。
應用
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特殊直角三角形- 維基百科，自由的百科全書
常見的直角三角形之三邊長比─畢氏數(勾股數)
3 4 5 三角形的角度關係在各種實際應用中都有應用，例如：
- 測量距離
- 製圖
- 三角測量