結論
這項技術依賴分而治之法，時序複雜度為 O(n log^2 n)。它能有效解決問題，即使對於龐大資料集。
方法
此法按照 x 座標將資料分切，再進行 Y 座標排序。如此一來，時序複雜度可降至 O(n log n)。而後，針對每個切分，再將資料依序分配至左右子集，尋找相鄰子集中的最近點對。
時序複雜度分析
根據資料分佈特性，每個「日字形」區域最多隻包含 6 個點。在與此相關的合併運算中，對於每個點，它至多與 6 個點比較距離。以此推論，此運算的時序複雜度為 O(n)。再考量排序等其他因素，時序複雜度總計為 O(n log^2 n)。
延伸
值得注意的是，合併運算的原始版本使用全排序演算法，導致時序複雜度為 O(n lg^2 n)。後續改進將排序作業轉移給遞迴函式，有效將時序複雜度降低至 O(n log n)。
實作
為了在合併運算中提供高效的時序複雜度，考量將相鄰紅色區域中的點對分組，並採用高效率的合併演算法。如此一來，每組點對的時序複雜度可降至 O(n) 等級。
優化
進一步的優化在於將資料分切後，針對較小子集採用蠻力法。此法適用於資料量較小的情況，時序複雜度仍維持在 O(n log^2 n) 的範圍內。
結論
此技術有效率地解決了問題，時序複雜度為 O(n log^2 n)，適合大量資料的處理。持續的改進與優化有助於進一步提升效能。
最近點：探索最近點問題的演化
引言
最近點問題是一個著迷了數學家和電腦科學家數世紀的經典問題。它探討了在給定一組點的情況下，尋找距離最近的兩點。儘管看似簡單，這個問題卻激發了重要的演算法的發展，並在各種應用領域中產生了影響。
最近點問題演化
| 時期 | 主要貢獻 |
|—|—|
| 古希臘 | 帕普斯提出「黃金分割」概念，用於計算正十二面體中兩條相交直線的最短距離。 |
| 19世紀末 | 歐幾裏德距離度量被引入，為最近點問題建立了基礎。 |
| 20世紀初 | 喬治·沃羅諾伊提出沃羅諾伊圖，這有助於有效地確定最近點。 |
| 20世紀中葉 | 近似演算法的發展，包括休里斯蒂克演算法和分支界限演算法。 |
| 20世紀末 | 精確演算法的進展，例如分治法和動態規劃。 |
| 21世紀 | 量子演算法的引入，有望帶來顯著的加速。 |
最近點演算法
| 演算法 | 時間複雜度 |
|---|---|
| 暴力搜尋 | O(n²) |
| 沃羅諾伊圖 | O(n log n) |
| 分治法 | O(n log n) |
| 動態規劃 | O(n²) |
| 近似演算法 | O(n) |
應用
最近點問題在廣泛的領域中有著重要的應用，包括：
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平面最近點對的分治做法及其證明原創
詳解平面點集最近點對問題
- 運籌學：在分派和路線規劃中優化距離。
- 圖論：在生成最小生成樹和求解旅行推銷員問題中尋找最近路徑。
- 資料探勘：在羣集分析和異常點偵測中確定相似的資料點。
- 計算幾何：在多邊形切割和碰撞偵測中計算相鄰物體之間的距離。
- 物理學：在分子建模和量子力學中模擬原子和粒子的交互。
結論
最近點問題是一個基礎且重要的問題，它的演化演繹了數學和電腦科學的進步。從古老的幾何原理到先進的量子供數演算法，最近點問題持續激勵著研究的創新，並在我們周圍的世界中找到廣泛的應用。