三角函數
三角函數是一種數學運算，利用直角三角形的內角大小來計算其兩條邊的比值。這些函數廣泛應用於工程、物理和天文學等領域。
定義
- 正弦（sin）：指定一個角，計算其對應直角三角形的對邊與斜邊的比值。
- 餘弦（cos）：指定一個角，計算其對應直角三角形的鄰邊與斜邊的比值。
- 正切（tan）：指定一個角，計算其對應直角三角形的對邊與鄰邊的比值。
性質
- 正弦和餘弦函數的圖形形狀相似，沿著 x 軸平移。
- 正弦、正切和餘切函數為奇函數。
- 餘弦和正割函數為偶函數。
恆等式
三角函數之間存在著許多適用於所有角度值的恆等式，包括畢達哥拉斯定理：
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
應用
- 振動和波動：三角函數用於描述簡諧振動和波動運動。
- 三角測量：三角函數用於測量距離和高度。
- 導航：三角函數用於計算航線和位置。
其他三角函數
除了正弦、餘弦和正切函數外，還有其他較不常見的三角函數，例如：
- 餘切（cot）
- 正割（sec）
- 餘割（csc）
正玄餘玄：古代中國數學的傑出成就
前言
「正玄餘玄」是古代中國數學中兩個重要的函數，它們在三角學的發展中扮演著至關重要的角色。本篇文章將深入探討正玄餘玄的概念、性質和應用，並透過表格的形式比較它們的異同。
正玄與餘玄
正玄（sin）是一個函數，給定一個鋭角，它可以計算出角的對邊與斜邊的比值。餘玄（cos）是一個函數，給定一個鋭角，它可以計算出角的鄰邊與斜邊的比值。
性質
| ** | 性質 | 正玄 | 餘弦 | ** |
|---|---|---|---|---|
| 定義 | 對邊比斜邊 | 鄰邊比斜邊 | ||
| 值域 | [-1, 1] | [-1, 1] | ||
| 奇偶性 | 奇函數 | 偶函數 | ||
| 週期性 | 2π | 2π | ||
| 三角恆等式 | sin^2 θ + cos^2 θ = 1 | sin θ / cos θ = tan θ |
應用
正玄和餘玄在三角學中具有廣泛的應用，包括：
- 解三角形：利用正玄定理或餘弦定理可以求出三角形的角和邊長。
- 平面運動：正玄和餘玄用於分析簡諧運動和波動現象。
- 天文學：正玄和餘玄用於計算天體的位置和距離。
- 音樂：正玄和餘玄用於調諧樂器和生成樂音。
- 電腦圖形：正玄和餘玄用於構建三維場景和動畫效果。
歷史
正玄和餘玄最早出現於公元前3世紀的《周髀算經》，它們被稱為「弦」和「股」。到了漢朝，劉洪將其翻譯成「正弦」和「餘弦」。這些函數在北宋沈括的《夢溪筆談》和南宋秦九韶的《數書九章》中得到了進一步的發展。
結論
延伸閲讀…
【餘弦正弦公式定理】Sin Cos Formula
三角函數- 維基百科，自由的百科全書
正玄和餘玄是古代中國數學的兩大傑出成就，它們在三角學的發展和實際應用中發揮著不可替代的作用。通過理解它們的性質和應用，我們可以更加深刻地體會古代中國數學的智慧與貢獻。