序言
「只需四種顏色就能為地面上之輿圖着色」這一假説是由南非籍數學家法蘭西斯．古德里於 1852 年提出的，被稱作「四色問題」或「四色定理」。起初，證明較寬鬆的「五色定理」（「只需五種顏色就能為地面上之輿圖着色」）似乎輕而易舉。然而，出人意料的是，「四色問題」異常棘手。多年來，雖然有許多人聲稱已證明或找出反例，但無一例外地都被證偽。
1976 年，數學家凱尼斯．阿佩爾和沃夫岡．哈肯藉助電子計算機首次取得了完整的證明，「四色問題」終於成為「四色定理」。這不僅是首個主要藉助計算機證明的定理，也標誌着數學證明的形式發生了變革。儘管最初許多數學家對這一證明持保留態度，但隨著計算機技術的普及，數學界逐漸接受了計算機輔助證明的價值，儘管仍有人希望找到更簡潔或不依賴計算機的證明。
正文
「四色定理」的通俗版本為：「對於任何無外飛地的輿圖，都可以使用四種顏色進行着色，且相鄰的國家不會採用相同的顏色。」作為數學定理，「四色定理」的數學敍述則更為嚴謹。
最初的着色問題是用幾何學概念描述的，嚴謹的定義則採用了拓撲學。設有一個平面或其一部分，並將其細分為互不重疊的區域集合。一個「輿圖」的具體定義如下：（2 條。244 頁）
所謂有界區域，是指可以用長度和寬度均有限的矩形覆蓋的區域；無界區域是指不能用矩形覆蓋的區域。（2 條。244 頁）
每一個區域對應於一般用語中的「國家」，而區域之間的邊界（「國家」之間的「國界」）則定義為連續的自交曲線，也稱為連續簡單曲線。連續簡單曲線是指一個從 [0, 1] 映射到平面上二維向量空間 R2 (\mathbb{R}^2 ) 的連續函數 c (c ) 的像集：
$$C = \lbrace c(t)\ |\ t\in[0,1]\rbrace$$
且滿足：
$$c(0) \neq c(1)$$
這樣便是表明曲線不與自身相交（沒有打結）。連續簡單曲線可以稱為弧，也可以稱為圈。（2 條。247 頁）
不難看出，使用邊界來定義輿圖更為本質：
平面 R2 ( \mathbb{R}^{2} ) 中的一張輿圖是指有限個簡單曲線的集合：
$${\mathcal{L}}=\lbrace C_{1},C_{2}, \cdots ,C_{m}\rbrace\, , m\in\mathbb{N}, m\ge2$$
其中對於 1 ≤ i ≤ m，有：
$$C_{i}=\lbrace c_{i}(t)\ |\ t\in[0,1]\rbrace$$
而 ci (c_{i} ) 是從 [0, 1] 映射到 R2 (\mathbb{R}^2 ) 的連續函數。（n-條。60 頁）
在定義的輿圖中，每一條連續簡單曲線稱為「邊」。每條邊的端點稱為「頂點」。因此，一張輿圖實際上是由一個簡單有界平面圖定義的。定義了邊和頂點後，設所有屬於邊或頂點的點為「中性點」，其集合記作：
$${\mathcal{N}}{\mathcal{L}}=\lbrace x\ |\ x\in C{i}, 1\le i \le m \rbrace$$
則 ({\mathcal{L}} \ 由餘下的點構成若干個路徑連通的開集。用拓撲學的術語來説，每一個「國家」是 R2 (\mathbb{R} ^2 ) – ({ \mathcal{N}}_{\mathcal{L}} ) 的一個極大連通子集。也就是説，取一個非中性點 x，所有能夠從 x，經過一條不包含中性點的弧到達的點的集合便是一個「國家」。這樣定義的「國家」必然滿足之前所述的特性。重要的是，「國家」應當沒有飛地。（2 條。64 頁）
着色的定義為：假設我們使用 n (n) 種顏色，那麼為輿圖着色是指將輿圖中的「國家」映射到 {1, 2, 3, …, n} ( \lbrace 1, 2, 3, …, n\rbrace ) 的函數。可行的「n 着色方案」是指相鄰「國家」對應顏色的函數。而「四色定理」表明：每張輿圖都存在可行的「4 着色方案」。（2 條。43 頁）
「四色問題」的拓撲學版本證明可以轉化為更抽象的圖論版本。這種轉化是一種對偶的概念：將輿圖轉換為圖論中的無向平面圖。具體來説，便是將輿圖中的每一個「國家」用其內部的一個點代表，作為頂點。假如兩個「國家」相鄰，便在兩個頂點之間連接一條線。這樣得到的圖必然是一個平面圖（不會出現兩條線相交的情況），而與對每個國家所選代表點無關。「四色定理」可以表述為：無向平面圖的頂點必定可以用四種顏色進行着色，使得相連的頂點顏色不同。（2 條。118-122 頁）
需要指出的是，並非所有的輿圖都能夠轉換為圖論中的平面圖。若一個「國家」具有飛地，則無法只用一個點代表一個國家。另外，若一個「國家」是「國中國」，那麼即使可以轉換為平面圖，也會造成討論上的不便。然而，「國中國」的着色非常簡單，因為它只有一個鄰國，只需將其着色與鄰國不同的顏色即可。因此，在大部分關於「四色問題」的討論中，可以忽略「國中國」的情形。同樣地，僅有兩個鄰國的情形也可以被忽略。假若規定，不能超過三個以上的國家具有公用邊界，那麼輿圖轉換得到的平面圖中，每個區域都只能由最多三條邊圍成。這樣的輿圖稱為「正規輿圖」。如果任何一個頂點都連接了三條邊，那麼稱為「三度圖」（trivalent map）。可以證明，若存在「四色定理」的反例，那麼國家數最少的反例必然是「三度圖」。因此，「四色問題」的證明中，經常會假設輿圖對應的圖是「三度圖」。（2 條。127-128 頁）
「只需要四種顏色為輿圖着色」的假説最初是由法蘭西斯．古德里於 1852 年提出的。1850 年，古德里在倫敦大學學院完成了數學學士學位，又花了兩年時間取得法學學士學位。（2 條。2-3 頁）1852 年，古德里在繪製英格蘭分郡地圖時，發現許多地圖都可以只用四種顏色着色，就能保證有相鄰邊界的區域顏色不同。他將這一發現告訴了自己的弟弟弗雷德裏克．古德里。（4 條。92 頁）弗雷德裏克當時正在倫敦大學學院學習數學，導師便是法蘭西斯上學時的老師奧古斯塔斯．德摩根。（2 條。2、5 頁）10 月 23 日，弗雷德裏克將哥哥的發現作為一個猜想向導師德摩根提出。德摩根對這個猜想很感興趣，當天便在信函中將這個問題轉達給愛爾蘭數學家威廉．哈密頓。德摩根的信至今保存在都柏林三一學院中。（2 條。7 頁）與德摩根的熱情不同，哈密頓對這個問題毫無興趣。三天後他回信德摩根，稱他不會嘗試解決這個「四元顏色問題」。（2 條。5 頁）
「四色問題」之所以能夠引起數學界的關注，德摩根功不可沒。他推動「四色問題」研究的熱忱，讓許多人認為德摩根才是首先提出這個猜想的人。在接下來的兩年中，德摩根又嘗試向其他數學家通信。1853 年 12 月 9 日和 1854 年 6 月 24 日，他分別寫信給自己以前的老師威廉．魏巍爾以及魏巍爾的妹夫，羅伯特．萊斯利．艾里斯，討論「四色問題」；1860 年 4 月 14 日，德摩根在「雅典娜雜誌」發表了自己對魏巍爾新書的書評，再次提到「四色定理」；而古德里兄弟中的一人也在 1854 年同年在同一本雜誌上發表了「四色定理」的文章。（2 條。11 頁）儘管德摩根的書評直到 1876 年才引起廣泛注意，但自其發表以來便發揮了一定的影響。美國邏輯學家兼哲學家，查爾斯．桑德斯．皮爾斯在雜誌上看到這篇文章後，向哈佛大學數學學會提交了一份嘗試性的證明（而非正式證明），對可能的證明思路進行了探討。（5 條。）
1878 年 6 月 13 日，在倫敦王家數學學會的一次會議上，阿瑟．凱萊向其他與會者詢問，「四色足夠為輿圖着色」的問題是否已經被證明。不出所料，他在此問題上寫了一篇簡短的論文，對問題進行了簡要的介紹和分析，並提交給英國皇家地理學會，於次年（1879 年）發佈在學會會刊上。（2 條。13 頁）凱萊的文章重新將「四色定理」帶回了數學家的視野。這一次，「四色定理」引起了更多的關注。凱萊的論文發表不到一年，「四色問題」的最著名的「錯誤證明」便出現了。（2 條。15 頁；4 條。94 頁）
出現在 1879 年 7 月 17 日，在「自然」雜誌上的訊息中煞有其事地宣稱「『四色猜想』得到證明」，完整的證明很快便發表在當時剛剛創建不久、「名聲不顯」的「美國數學雜誌」上。（6 條。）。原因是「美國數學雜誌」的創始人詹姆斯．約瑟夫．西爾維斯特是凱萊的好友，因此肯普「應雜誌主編要求」，將這篇頗有分量的論文發表在名不見經傳的期刊上。（2 條。15 頁）
「美國數學雜誌」的顧問編輯威廉．愛德華．斯多利也對這個問題很感興趣。（7 條。）。他簡化了肯普的證明，並補充了許多肯
四種顏色：色彩學的基石
色彩在我們的世界中扮演著至關重要的角色，影響著我們的感知、情緒和行為。其中，四種顏色——紅、黃、藍和綠——被認為是色彩學的基石，形成了一個色彩系統，定義了所有其他顏色。
顏色理論
色輪
色輪是一個圓形圖表，排列了所有顏色，以錶示它們之間的關係。紅、黃、藍和綠被稱為基本色或原色，位於色輪的三個等距點上。
互補色
位於色輪相對位置的顏色，例如紅和綠、黃和紫，稱為互補色。當互補色組合時，它們會產生強烈的對比和視覺刺激。
類比色
位於色輪相鄰的顏色，例如紅、橙和黃，稱為類比色。它們具有相似的色調，共同使用時可以營造和諧感。
色彩對心理的影響
不同的顏色會對我們的思維和情緒產生不同的影響。
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4種顏色4種性格，怎麼規劃當人生贏家？
| 顏色 | 心理影響 |
|---|---|
| 紅 | 熱情、興奮、危險 |
| 黃 | 快樂、樂觀、能量 |
| 藍 | 冷靜、穩定、平靜 |
| 綠 | 自然、生長、和諧 |
色彩在設計中的應用
色彩在設計中起著至關重要的作用，可以通過以下方式影響觀眾：
- 傳達情緒：不同的顏色可以傳達不同的情緒和氛圍。
- 引起注意：亮色和鮮明的對比可以引起觀眾的注意。
- 營造協調性：相似的顏色可以營造協調感，而互補色可以創造對比。
- 指導視覺：顏色可以使用户在設計中引導目光。
結論
四種顏色——紅、黃、藍和綠——構成了色彩學的基礎。它們通過色輪的關係定義了所有其他顏色，並對我們的感知、情緒和行為產生著深刻的影響。在設計中，色彩可以傳達情緒、引起注意、營造協調性和指導視覺，從而影響最終的用户體驗。理解和掌握四種顏色的力量是設計師和藝術家中至關重要的技能。