正八邊形：一種具有八條邊和頂點的多邊形
八邊形是一種在幾何中很重要的形狀，其具有八條邊、八個頂點且內角和為 1080 度 [2]。無數種類的八邊形中，最對稱莫過於正八邊形了。其他種類的八邊形，則依照其角性質分類，可區分為凸八邊形、非凸八邊形與星形八邊形，其中凸八邊形代表所有內角皆小於 180 度。
正八邊形因其八條邊長度相等、內角大小皆等而備受矚目，並以八條相同長度的邊和八個相同大小的角構成，形成一種規則的多邊形。在施萊夫利符號中，正八邊形表示為 {8} [4]。由於正八邊形可以視為截去所有頂點的正方形，即截角正方形，因此在施萊夫利符號中也可以標記為 t{4}。
正八邊形和其他八邊形一樣，都可以拆分為六個三角形，且每個三角形的內角和為 180 度，所以所有八邊形的內角和皆為 1080 度 [2]。與之對應的是任意多邊形繞自身一圈後回到起點，所有外角和等於圓周，故所有多邊形的外角和皆為 360 度。
若在任意八邊形的每條邊上皆建構一個邊長與其相同的正方形，且所有正方形皆位於八邊形內部或外部，那麼連接各正方形對角線的中點所形成的四邊形，其對角線不僅垂直，且長度相等 [3]:Prop. 9。
而任意一個八邊形中點八邊形，即連接任意八邊形每條邊中點後的八邊形，換句話説就是對偶八邊形，若將其每條邊之上建構一個邊長與其相同的正方形，且所有正方形皆位於對偶八邊形內部或外部，那麼連接各正方形對角線的中點所形成的四邊形是一個正方形 [3]:Prop. 10。
上述性質適用於所有八邊形，無論其是否凸、是否非凸或複雜，但八條邊構成的複合圖形除外。
正八邊形面積計算
對於一個已給定邊長 a 的正八邊形，其面積為：
面積 = 2a^2(1 + \sqrt{2})
若已知外接圓半徑為 R，則其面積為：
面積 = 8R^2 \sin{22.5^\circ}
若已知內切圓半徑或邊心距為 r，則其面積為：
面積 = 4r^2 \sqrt{2}
其中，S 為八邊形的寬度，其值與次短對角線相等；a 為邊長，或某個底邊的長度。這個面積公式很容易證明。取一個正八邊形，在其外部疊合一個正方形，並確保正方形與正八邊形的四條邊部分重疊，然後將正方形四個直角依照正八邊形的邊長分割出四個等腰直角三角形。移除這四個等腰直角三角形，可以拼出一個與正八邊形邊長相同的正方形。
已知邊長為 a，其寬度 S 為：
S = \frac{a \sqrt{2}}{2}
若以寬度來表示其面積，則為：
面積 = 2S^2
若已知 S，邊長 a 可以由下列方程式計算得來：
a = \frac{S \sqrt{2}}{2}
八角形邊長計算
八角形邊長計算是一個幾何問題，用於找出八角形的邊長。八角形是一個具有八條邊和八個頂點的多邊形。計算八角形邊長有兩種主要方法：使用邊長公式和使用內接圓半徑公式。
邊長公式
要使用邊長公式計算一個八角形的邊長，需要知道它的外接圓半徑。給定外接圓半徑r，八角形的邊長s可以通過以下公式計算：
s = 2r * sin(pi / 8)
其中pi是圓周率（約等於3.14159）。
內接圓半徑公式
也可以使用內接圓半徑來計算八角形的邊長。給定內接圓半徑r，八角形的邊長s可以通過以下公式計算：
s = (2 * r) / sqrt(2 - sqrt(2))
表格
為了便於使用，下表提供了使用邊長公式和內接圓半徑公式計算八角形邊長的示例：
| 外接圓半徑（r） | 內接圓半徑（r） | 邊長（s） |
|---|---|---|
| 5 cm | 3.5 cm | 7.65 cm |
| 10 cm | 7 cm | 15.3 cm |
| 15 cm | 10.5 cm | 22.95 cm |
步驟指南
- 獲取外接圓半徑或內接圓半徑。
- 代入相關公式。
- 計算邊長。
應用的限制
需要注意的是，這些公式只能計算正八角形的邊長。如果八角形不是正多邊形，則公式可能會產生不準確的結果。